Question

7．在正三棱錐V-ABC內(nèi)，有一半球，其底面與正三棱錐的底面重合，且與正正三棱錐的三個(gè)側(cè)面都相切，若半球的半徑為2，則正三棱錐的體積最小時(shí)，其高等于2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由于正三棱錐的側(cè)面為全等的等腰三角形，故側(cè)面與球的切點(diǎn)在棱錐的斜高上，利用等積法得出棱錐的高與棱錐底面邊長(zhǎng)的關(guān)系，得出棱錐的體積關(guān)于高h(yuǎn)的函數(shù)V（h），利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值得關(guān)系計(jì)算V（h）的極小值點(diǎn)．

解答 解：設(shè)△ABC的中心為O，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)OD，VD，VO，
設(shè)OD=a，VO=h，則VD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{V}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+{h}^{2}}$．
AB=2AD=2$\sqrt{3}a$．
過(guò)O作OE⊥VD，則OE=2，
∴S_△VOD=$\frac{1}{2}OD•VO=\frac{1}{2}VD•OE$，
∴ah=2$\sqrt{{a}^{2}+{h}^{2}}$，整理得a²=$\frac{4{h}^{2}}{{h}^{2}-4}$（h＞2）．
∴V（h）=$\frac{1}{3}$S_△ABC•h=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{3}）^{2}$a²h=$\sqrt{3}$a²h=$\frac{4\sqrt{3}{h}^{3}}{{h}^{2}-4}$．
∴V′（h）=4$\sqrt{3}$×$\frac{3{h}^{2}（{h}^{2}-4）-2{h}^{4}}{（{h}^{2}-4）^{2}}$=4$\sqrt{3}$×$\frac{{h}^{4}-12{h}^{2}}{（{h}^{2}-4）^{2}}$．
令V′（h）=0得h²-12=0，解得h=2$\sqrt{3}$．
當(dāng)2＜h$＜2\sqrt{3}$時(shí)，V′（h）＜0，當(dāng)h$＞2\sqrt{3}$時(shí)，V′（h）＞0，
∴當(dāng)h=2$\sqrt{3}$時(shí)，V（h）取得最小值．
故答案為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了球與外切多面體的關(guān)系，棱錐的體積計(jì)算，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值，屬于中檔題．