Question

已知雙曲線x²-

y2

2

=1．
（1）求以點(diǎn)A（2，1）為中點(diǎn)的弦所在直線方程；
（2）過點(diǎn)A（2，1）的直線L與所給的雙曲線交于兩點(diǎn)P₁及P₂，求線段P₁P₂的中點(diǎn)P的軌跡方程．
（3）過點(diǎn)B（1，1）能否作直線m，使m與所給雙曲線交于兩點(diǎn)Q₁及Q₂，且點(diǎn)B是線段Q₁Q₂的中點(diǎn)？這樣的直線m如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)A（2，1）是弦P₁P₂的中點(diǎn)，且P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），利用點(diǎn)差法能求出以A（2，1）為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），則2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，兩式相減，利用P是中點(diǎn)及斜率相等可求P得軌跡方程，從而得到其軌跡．
（3）假設(shè)直線l存在．由已知條件利用點(diǎn)差法求出直線l的方程為2x-y-1=0，聯(lián)立方程組

2x2-y2=2 2x-y-1=0

，得2x²-4x+3=0，由△-8＜0，推導(dǎo)出直線l不存在．

解答： 解：（1）雙曲線x²-

y2

2

=1方程可化為：2x²-y²=2，
設(shè)A（2，1）是弦P₁P₂的中點(diǎn)，
且P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2．
∵P₁，P₂在雙曲線上，
∴

2x12-y12=2 2x22-y22=2

，
∴2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴2×4（x₁-x₂）=2（y₁-y₂），
∴k=

y1-y2

x1-x2

=4，
∴以A（2，1）為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程為：
y-1=4（x-2），整理得4x-y-7=0．
（2）設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∵2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，
∴4x（x₁-x₂）-2y（y₁-y₂）=0，
∴直線P₁P₂的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

2x

y

，
∵k_AP=

y-1

x-2

，A，P，P₁P₂共線，
∴

y-1

x-2

=

2x

y

，
∴2x²-y²-4x+y=0，
即線段P₁P₂的中點(diǎn)P的軌跡方程是2x²-y²-4x+y=0．
（3）假設(shè)直線l存在．
設(shè)B（1，1）是弦MN的中點(diǎn)，
且Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），則x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．
∵Q₁，Q₂在雙曲線上，
∴

2x12-y12=2 2x22-y22=2

，
∴2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴4（x₁-x₂）=2（y₁-y₂），
∴k=

y1-y2

x1-x2

=2，
∴直線l的方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0，
聯(lián)立方程組

2x2-y2=2 2x-y-1=0

，得2x²-4x+3=0
∵△=16-4×3×2=-8＜0，
∴直線l與雙曲線無交點(diǎn)，
∴直線l不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法和根的判別式的合理運(yùn)用．