Question

已知橢圓C 

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率為

3

2

，橢圓上一點M到橢圓兩個焦點距離之和為4．
（1）求橢圓C的標準方程
（2）若直線l傾斜角為

π

4

且過橢圓的右焦點與橢圓相交于A，B兩點，求弦長|AB|（3）若直線l過點D（-1，0）且與橢圓相交于AB兩點，O為坐標原點，若AB的中點為N，且|AB|=2|ON|，求直線l方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）根據a²=b²+c²，

c

a

=

3

2

，2a=4，求解．
（2）過點F且傾斜角為

π

4

的直線方程為y=x-

3

，與橢圓方程聯立，利用弦長公式，即可求|AB|的值．
（3）設直線l的方程為：x+1=my，與橢圓方程聯立，根據AB的中點為N，且|AB|=2|ON|，即OA⊥OB，求出m值，即可得到直線l的方程．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

c

a

=

3

2

，
橢圓上任意一點到橢圓的兩個焦點的距離之和為4，
∴a=2，c=

3

，b=1，
∴橢圓的標準方程：

x2

4

+y2=1，
（2）過點F且傾斜角為

π

4

的直線方程為y=x-

3

．
由

x2 4 +y2=1 y=x- 3

得5x²-8

3

x+8=0，
解得x₁=

4 3 +2 2

5

，x₂=

4 3 -2 2

5

，
故|AB|=

2

|x₁-x₂|=

8

5

．
（3）∵直線l過點D（-1，0），
∴設直線l的方程為：x+1=my，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x2 4 +y2=1 x+1=my

得：（m²+4）y²-2my-3=0，
則y1+y2=

2m

m2+4

，y1•y2=

-3

m2+4

，
則x₁•x₂=m²y₁•y₂-m（y₁+y₂）+1=

-4m2+4

m2+4

，
∵AB的中點為N，且|AB|=2|ON|，
故OA⊥OB，
即

OA

•

OB

=x₁•x₂+y1•y2=

-4m2+4-3

m2+4

=0，
解得：m=±

1

2

，
故直線l方程的方程為：x+1=

1

2

y，或x+1=-

1

2

y，
即2x-y+2=0，或2x+y+2=0

點評：本題考查的知識點是橢圓的標準方程，直線的點斜式方程，直線與圓錐曲線的關系，弦長公式，向量垂直的充要條件，是直線，圓錐曲線，向量的綜合應用，難度較大，屬于難題．