Question

17．已知命題P：函數(shù)y=lg（x²+2x+a）的定義域為R；命題Q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0對任意實數(shù)x恒成立．若P∨Q是真命題，P∧Q是假命題；求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 當P真：f（x）=lg（x²+2x+a）的定義域為R，有△=4-4a＜0，解得a
命題Q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0對任意實數(shù)x恒成立．當a=2時成立，
當a≠2時，可得$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{△=4（a-2）^{2}+16（a-2）＜0}\end{array}\right.$，解得a范圍．由于P∨Q是真命題，求出上述并集即可．

解答 解：當P真：f（x）=lg（x²+2x+a）的定義域為R，
有△=4-4a＜0，解得a＞1；
當命題Q真：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0對任意實數(shù)x恒成立．當a=2時成立，
當a≠2時，可得$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{△=4（a-2）^{2}+16（a-2）＜0}\end{array}\right.$，解得-2＜a≤2．
若P∨Q是真命題，則0＜a＜1或-2＜a≤2．
因此實數(shù)a的取值范圍是-2＜a≤2．
∵P∨Q是真命題，且P∧Q為假命題，
∴P真Q假，或P假Q真．
$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤-2或a＞2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{-2＜a≤2}\end{array}\right.$
即a＞2或-2＜a≤1．

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調性、一元二次不等式的解集與判別式的關系、簡易邏輯的判定，考查了推理能力，屬于中檔題．