Question

7．已知a，b是常數(shù)，函數(shù)f（x）=ax³+bln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+3在（-∞，0）上的最大值為10，則f（x）在（0，+∞）上的最小值為-4．

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=ax³+bln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$），判斷g（x）為奇函數(shù)，可得g（x）的最值之和為M+m=0，分別求得g（x）的最大值和最小值，即可得到所求最值．

解答 解：函數(shù)f（x）=ax³+bln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+3，
設(shè)g（x）=ax³+bln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$），
g（-x）=-ax³+bln（-x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$），
由g（-x）+g（x）=b[ln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+ln（-x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）]
=bln（1+x²-x²）=0，
可得g（x）為奇函數(shù)，且g（x）的最值之和為M+m=0，
即有g(shù)（x）在（-∞，0）上的最大值為M=10-3=7，
可得g（x）在（0，+∞）上的最小值m=-7，
則f（x）在（0，+∞）上的最小值為-7+3=-4．
故答案為：-4．

點評 本題考查奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，考查函數(shù)的最值的求法，注意運用換元法，考查運算能力，屬于中檔題．