Question

已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-1|（x∈R）．
（1）利用絕對(duì)值及分段函數(shù)知識(shí)，將函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)，然后在給定的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象（不需列表）；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a-1，2]上函數(shù)值隨著自變量的增大而增大，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若集合{x∈R|f（x）≥

1

m

}=R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,帶絕對(duì)值的函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由絕對(duì)值的定義，在不同的范圍內(nèi)去絕對(duì)值，得當(dāng)x＜-1時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為y=-2x；當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為y=2；當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為y=2x．由此不難將函數(shù)化成分段函數(shù)的表示形式，并可作出它的圖象．
（2）根據(jù)（1）的表達(dá)式，可得區(qū)間[a-1，2]是[1，+∞）的子集，由此建立不等式并解之，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：（1）根據(jù)絕對(duì)值的定義，化簡(jiǎn)函數(shù)為
f（x）=|x+1|+|x-1|=

-2x，x＜-1 2，-1≤x≤1 2x，x＞1

，
當(dāng)x＜-1時(shí)，函數(shù)圖象是直線y=-2x的一部分；當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，函數(shù)圖象是直線y=2的一部分；
當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)圖象是直線y=2x的一部分
由此可得函數(shù)的圖象如下圖

（2）由（1）得，函數(shù)的增區(qū)間為[1，+∞）
∵f（x）在區(qū)間[a-1，2]上單調(diào)遞增，
∴1≤a-1＜2，解之得2≤a＜3
因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，3）；
（3）由（1）圖象得，要使集合{x∈R|f（x）≥

1

m

}=R，
只要

1

m

≤f（x）（_min=2，解得m＜0或者m≥

1

2

，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍m＜0或者m≥

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有絕對(duì)值的函數(shù)，要求我們將其化成分段函數(shù)的表達(dá)式形式，并討論它的單調(diào)區(qū)間，著重考查了絕對(duì)值的意義和函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)圖象的畫法等知識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題方法．