Question

4．設函數(shù)f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x-3．
（1）求f（x）的單調區(qū)間和極值點；
（2）求f（x）在[0，3]的最大值與最小值；
（3）畫y=f（x）的草圖．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調性和極值的定義即可求f（x）的單調區(qū)間和極值點；
（2）求出端點值f（0）和f（3），結合函數(shù)的極值進行比較即可求f（x）在[0，3]的最大值與最小值；
（3）根據(jù)函數(shù)單調性，和極值即可畫y=f（x）的草圖．

解答 解：（1）函數(shù)導數(shù)f′（x）=3x²-9x+6=3（x²-3x+2），
由f′（x）＞0得x＞2或x＜1，此時函數(shù)單調遞增，
由f′（x）＜0，得1＜x＜2，此時函數(shù)單調遞減，
即函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞），單調遞減區(qū)間為（1，2），
當x=1時，函數(shù)取得極大值，此時f（1）=$-\frac{1}{2}$，
當x=2時，函數(shù)取得極小值，此時f（2）=-1．
（2）∵f（0）=-3，f（3）=$\frac{1}{2}$，f（1）=$-\frac{1}{2}$，f（2）=-1
∴f（x）在[0，3]的最大值是f（3）=$\frac{1}{2}$，最小值是f（0）=-3；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調性和極值，
則作出對應的函數(shù)y=f（x）的草圖如圖．

點評 本題主要考查導數(shù)的綜合應用，根據(jù)函數(shù)單調性，極值，最值和導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．考查學生的計算能力．