Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²+mx-lnx．
（Ⅰ）當(dāng)m=0時(shí)，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x²，當(dāng)x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時(shí)，g（x）≥3，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），f（1），代入切線方程即可
（Ⅱ）法一：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為$m≥\frac{3+lnx}{x}$對(duì)x∈（0，e]恒成立．設(shè)$h（x）=\frac{3+lnx}{x}\;\;\;（0＜x≤e）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最大值，從而求出m的范圍即可；
法二：求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，求出g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的最小值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=x²-lnx，
∴$f'（x）=2x-\frac{1}{x}$，∴k=f'（1）=1，又f（1）=1
∴切線方程為y=x       …（4分）
（Ⅱ）（方法一）
當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，g（x）=mx-lnx≥3，即$m≥\frac{3+lnx}{x}$對(duì)x∈（0，e]恒成立．
設(shè)$h（x）=\frac{3+lnx}{x}\;\;\;（0＜x≤e）$，則$h'（x）=\frac{-2-lnx}{x}$
當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{e^2}$時(shí)，h'（x）＞0；當(dāng)$\frac{1}{e^2}＜x＜e$時(shí)，h'（x）＜0
∴h（x）的增區(qū)間為$（0，\frac{1}{e^2}）$，減區(qū)間為$（\frac{1}{e^2}，e）$
∴$h{（x）_{max}}=h（\frac{1}{e^2}）={e^2}$
∴m≥e²． …（12分）
（方法二）g（x）=mx-lnx（0＜x≤e），則$g'（x）=m-\frac{1}{x}$
當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，$\frac{1}{x}≥\frac{1}{e}$
①$m≤\frac{1}{e}$時(shí)，g'（x）≤0，∴g（x）在（0，e]單調(diào)遞減
∴g（x）_min=g（e）=em-1≤0矛盾，（舍）
②$m＞\frac{1}{e}$時(shí)，
當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{m}$時(shí)，g'（x）＜0；當(dāng)$\frac{1}{m}＜x＜e$時(shí)，g'（x）＞0
∴g（x）在$（0，\frac{1}{m}）$單調(diào)遞減，$（\frac{1}{m}，e）$單調(diào)遞增
∴$g{（x）_{min}}=g（\frac{1}{m}）=1+lnm≥3$，解得m≥e²
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[e²，+∞）． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．