Question

14．已知函數(shù)f（x）=2ax²+bx+1（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）函數(shù)F（x）=f（x）e^x在點(diǎn)（-2，F(xiàn)（-2））處的切線方程為y=$\frac{1}{{e}^{2}}$（x+2），求a，b的值；
（2）若b=e-1-2a，方程f（x）=x^x在（0，1）內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)F（x）=f（x）e^x在點(diǎn)（-2，F(xiàn)（-2））處的切線方程為y=$\frac{1}{{e}^{2}}$（x+2），建立方程，即可求出a，b；
（2）根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)存在零點(diǎn)問題，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）若F（x）=（2ax²+bx+1）e^x，
則F′（x）=（4ax+b）e^x+（2ax²+bx+1）e^x=[2ax²+（b+4a）x+b+1]e^x，
∵函數(shù)F（x）=f（x）e^x在點(diǎn)（-2，F(xiàn)（-2））處的切線方程為y=$\frac{1}{{e}^{2}}$（x+2），
∴F′（-2）=[8a+（b+4a）（-2）+b+1]e^-2=$\frac{1}{{e}^{2}}$，F(xiàn)（-2）=（8a-2b+1）e²=0
∴a=-$\frac{1}{8}$，b=0．
（2）方程f（x）=e^x在（0，1）內(nèi)有解，即2ax²+bx+1=e^x在（0，1）內(nèi)有解，
即e^x-2ax²-bx-1=0，
設(shè)g（x）=e^x-2ax²-bx-1，
則g（x）在（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，
設(shè)x₀是g（x）在（0，1）內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，
則g（0）=0，g（1）=0，知函數(shù)g（x）在（0，x₀）和（x₀，1）上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減，
設(shè)h（x）=g′（x），
則h（x）在（0，x₀）和（x₀，1）上存在零點(diǎn)，
即h（x）在（0，1）上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，
g′（x）=e^x-4ax-b，h′（x）=e^x-4a，
當(dāng)a≤$\frac{1}{4}$時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上遞增，h（x）不可能有兩個(gè)及以上零點(diǎn)，
當(dāng)a≥$\frac{e}{4}$時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上遞減，h（x）不可能有兩個(gè)及以上零點(diǎn)，
當(dāng)$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{e}{4}$時(shí)，令h′（x）=0，得x=ln（4a）∈（0，1），
則h（x）在（0，ln（4a））上遞減，在（ln（4a），1）上遞增，h（x）在（0，1）上存在最小值h（ln（4a））．
若h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則有h（ln（4a））＜0，h（0）＞0，h（1）＞0，
h（ln（4a））=4a-4aln（4a）-b=6a-4aln（4a）+1-e，$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{e}{4}$，
設(shè)φ（x）=$\frac{3}{2}$x-xlnx+1-x，（1＜x＜e），
則φ′（x）=$\frac{1}{2}$-lnx，
令φ′（x）=$\frac{1}{2}$-lnx=0，得x=$\sqrt{e}$，
當(dāng)1＜x＜$\sqrt{e}$時(shí)，φ′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)φ（x）遞增，
當(dāng)$\sqrt{e}$＜x＜e時(shí)，φ′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)φ（x）遞減，
則φ（x）_max=φ（$\sqrt{e}$）=$\sqrt{e}$+1-e＜0，
則h（ln（4a））＜0恒成立，
由h（0）=1-b=2a-e+2＞0，h（1）=e-4a-b＞0，
得$\frac{e-2}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
當(dāng)$\frac{e-2}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，設(shè)h（x）的兩個(gè)零點(diǎn)為x₁，x₂，則g（x）在（0，x₁）遞增，
在（x₁，x₂）上遞減，在（x₂，1）遞增，
則g（x₁）＞g（0）=0，
g（x₂）＜g（1）=0，
則g（x）在（x₁，x₂）內(nèi)有零點(diǎn)，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{e-2}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的最值、單調(diào)性、零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．