Question

17．已知函數(shù)f（x）=e^x-x-1（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求證：e^x≥x+1；
（2）若不等式f（x）＞ax-1在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）要證e^x≥x+1，只需證f（x）=e^x-x-1≥0，求導得f′（x）=e^x-1，利用導數(shù)性質(zhì)能證明e^x≥x+1．
（2）不等式f（x）＞ax-1在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，即a＜$\frac{{e}^{x}-x}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}，2$]上恒成立，令g（x）=$\frac{{e}^{x}-x}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}，2$]，利用導數(shù)性質(zhì)求g（x）=$\frac{{e}^{x}-x}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}，2$]上的最小值，由此能求出正數(shù)a的取值范圍．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）由題意知，要證e^x≥x+1，只需證f（x）=e^x-x-1≥0，
求導得f′（x）=e^x-1，當x∈（0，+∞）時，f′（x）=e^x-1＞0，
當x∈（-∞，0）時，f′（x）=e^x-1＜0，
∴f（x）在x∈（0，+∞）是增函數(shù)，在x∈（-∞，0）時是減函數(shù)，
即f（x）在x=0時取最小值f（0）=0，
∴f（x）≥f（0）=0，即f（x）=e^x-x-1≥0，
∴e^x≥x+1．…（6分）
（2）不等式f（x）＞ax-1在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，即e^x-x-1＞ax-1在x∈[$\frac{1}{2}，2$]上恒成立，
亦即a＜$\frac{{e}^{x}-x}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}，2$]上恒成立，令g（x）=$\frac{{e}^{x}-x}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}，2$]，
以下求g（x）=$\frac{{e}^{x}-x}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}，2$]上的最小值，
${g}^{'}（x）=\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，當x∈[$\frac{1}{2}，1$]時，g′（x）＜0，
當x∈[$\frac{1}{2}，1$]時，g′（x）＞0，
∴當x∈[$\frac{1}{2}，1$]時，g（x）單調(diào)遞減，當x∈[$\frac{1}{2}，1$]時，g（x）單調(diào)遞增，
∴g（x）在x=1處取得最小值為g（1）=e-1，
∴正數(shù)a的取值范圍是（0，e-1）．…（12分）

點評 本題考查不等式的證明，考查正數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．