Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

1

2

，a_n+1=sin（

π

2

a_n），n∈N^*
（Ⅰ）求證：0＜a_n＜a_n+1＜1；
（Ⅱ）求證：sin[

π

4

（1-a_n）]＜

1

2

；
（Ⅲ）求證：a_n≥1-

1

2

（

π

4

）^n-1．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列與三角函數(shù)的綜合

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先利用數(shù)學(xué)歸納法證0＜a_n＜1，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明a_n＜a_n+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

2

≤an＜1，然后求出

π

4

(1-an)的范圍，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性證明sin[

π

4

（1-a_n）]＜

1

2

；
（Ⅲ）由1-an=1-sin(

π

2

an-1)=1-cos(

π

2

-

π

2

an-1)=2sin2[

π

4

(1-an-1)]，結(jié)合（Ⅱ）可得2sin[

π

4

(1-an-1)]＜1，再由x∈（0，

π

2

）時，sinx＜x可得要證的結(jié)論．

解答： 證明：（Ⅰ）先證0＜a_n＜1．
當(dāng)n=1時，a1=

1

2

，滿足0＜a₁＜1；
假設(shè)當(dāng)n=k時，0＜a_k＜1，
當(dāng)n=k+1時，∵0＜

π

2

ak＜

π

2

，∴0＜sin(

π

2

ak)＜1．
即0＜a_k+1＜1．
再證：a_n＜a_n+1．
當(dāng)n=1時，a1=

1

2

，a2=sin(

π

2

a1)=sin

π

4

=

2

2

，∴a₁＜a₂；
假設(shè)n=k時，0＜a_k＜a_k+1＜1．
當(dāng)n=k+1時，0＜

π

2

ak＜

π

2

ak+1＜

π

2

，
∵f（x）=sinx在（0，

π

2

）上單調(diào)遞增，
∴sin(

π

2

ak)＜sin(

π

2

ak+1)，即a_k+1＜a_k+2．
∴n=k+1時，a_k＜a_k+1．
綜上，0＜a_k＜a_k+1＜1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：

1

2

≤an＜1．
∴0＜1-an≤

1

2

．
∴0＜

π

4

(1-an)≤

π

8

．
∴sin[

π

4

(1-an)]≤sin

π

8

＜sin

π

6

=

1

2

．
即sin[

π

4

(1-an)]＜

1

2

．
（Ⅲ）1-an=1-sin(

π

2

an-1)=1-cos(

π

2

-

π

2

an-1)=2sin2[

π

4

(1-an-1)]．
由（Ⅱ）知：2sin[

π

4

(1-an-1)]＜1．
∴2sin2[

π

4

(1-an-1)]＜sin[

π

4

(1-an-1)]．
又∵x∈（0，

π

2

）時，sinx＜x，
∴sin[

π

4

(1-an-1)]＜

π

4

(1-an-1)．
即1-an＜

π

4

(1-an-1)＜(

π

4

)2(1-an-2)＜…＜(

π

4

)n-1(1-a1)=

1

2

(

π

4

)n-1．
∴an≥1-

1

2

(

π

4

)n-1．

點評：本題是數(shù)列與三角函數(shù)的綜合題，考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，屬有一定難度題目．