已知橢圓：的離心率為，其長軸長與短軸長的和等于6．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，設(shè)橢圓的上、下頂點分別為，是橢圓上異于的任意一點，直線分別交軸于點，若直線與過點的圓相切，切點為．證明：線段的長為定值．

 

（1）；（2）定值為2，證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率、長軸與短軸的關(guān)系建立的方程可求得橢圓的方程；；（2）設(shè)，然后用此點坐標(biāo)分別表示出、的方程，然后根據(jù)直線與圓相切性質(zhì)、平面幾何知識化為的關(guān)系，進而確定其為定值．

試題解析：（1）由題意可得，得 ①．

又，即 ②，

解①②，得，

∴橢圓的方程為．

（2）由（1）知，設(shè)，則

直線的方程為，令，得．

直線的方程為，令，得．

設(shè)，則

＝，

，

∴＝．

∵，即，

∴＝，∴，即線段的長為定值2．

考點：1、橢圓的方程及幾何性質(zhì)；2、直線與圓的位置關(guān)系；3、直線與橢圓的位置關(guān)系；4、定值問題．

 

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如圖，在長方體中，是棱的中點，點在棱上，且（為實數(shù)）.

（1）當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦值的大��；

（2）試問：直線與直線能否垂直？請說明理由.

 

 

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（1）該市11月份環(huán)境空氣質(zhì)量優(yōu)或良的共有多少天？

（2）若采用分層抽樣方法從天中抽取天進行市民戶外晨練人數(shù)調(diào)查，則中度污染被抽到的天數(shù)共有多少天？

（3）空氣質(zhì)量指數(shù)低于時市民適宜戶外晨練，若市民王先生決定某天早晨進行戶外晨練，則他當(dāng)天適宜戶外晨練的概率是多少？

 

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