Question

20．已知圓F：x²+（y-1）²=1，動(dòng)圓P與定圓F在x軸的同側(cè)且與x軸相切，與定圓F相外切．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M（0，2）的直線交曲線C于A，B，若$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{MB}$，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，則|PF|=1+r．根據(jù)圓P與x軸相切，以及動(dòng)圓P與定圓F在x軸的同側(cè)，可得方程$\sqrt{{x^2}+{{（{y-1}）}^2}}=1+y$．從而可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=kx+2，由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x^2}=4y}\end{array}}\right.$得x²-4kx-8=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合條件求出k，即可求直線AB的方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，則|PF|=1+r．
設(shè)P（x，y），根據(jù)圓P與x軸相切，以及動(dòng)圓P與定圓F在x軸的同側(cè)，可得r=y＞0，
所以，$\sqrt{{x^2}+{{（{y-1}）}^2}}=1+y$．…（3分）
化簡(jiǎn)得：x²=4y．
所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x²=4y（y＞0）．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=kx+2
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x^2}=4y}\end{array}}\right.$得x²-4kx-8=0…（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\left\{{\begin{array}{l}{-{x_1}=\frac{1}{2}{x_2}}\\{{x_1}+{x_2}=4k}\\{{x_1}{x_2}=-8}\end{array}}\right.$，…（10分）
所以$k=±\frac{1}{2}$
直線AB的方程為$y=\frac{1}{2}x+2$或$y=-\frac{1}{2}x+2$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題通過(guò)直接法得到拋物線的軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．