Question

9．二項式（2x-1）⁸的展開式中，求：
（1）二項式系數(shù)最大的項；
（2）所有二項式系數(shù)之和；
（3）求所有奇數(shù)次冪項的系數(shù)和．

Answer 1

分析 （1）利用二項式系數(shù)的性質(zhì)可得二項式系數(shù)最大的項．
（2）利用二項式系數(shù)的性質(zhì)可得所有二項式系數(shù)之和．
（3）令x=1，可得a₀+a₁+…+a₈=1，令x=-1，可得a₀-a₁+…-a₇+a₈=3⁸，兩式相減除以2可得所有奇數(shù)次冪項的系數(shù)和．

解答 解：（1）在二項式（2x-1）⁸的展開式中，通項公式為T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（-1）^r•2^8-r•x^8-r，
二項式系數(shù)最大的項為T₅=${C}_{8}^{4}{•2}^{4}{•x}^{4}$=1120x⁴．
（2）設(shè)（2x-1）⁸的所有二項式系數(shù)之和為${C}_{8}^{0}$+${C}_{8}^{1}$+…+${C}_{8}^{8}$=2⁸=256．
（3）設(shè)（2x-1）⁸ =a₀+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸，
令x=1，可得a₀+a₁+…+a₈=1，再令x=-1，可得a₀-a₁+…-a₇+a₈=3⁸，
兩式相減除以2可得所有奇數(shù)次冪項的系數(shù)和為a₁+a₃+…+a₇=$\frac{{1-3}^{8}}{2}$=-3280．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)．注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題．