Question

11．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x∈（-∞，0]時，f（x）有唯一的零點-3，且恒有xf′（x）＜f（-x），則滿足不等式$\frac{f（x）}{x}≤0$的實數(shù)x的取值范圍是[-3，0）∪[3，+∞）．（結(jié)果用集合或區(qū)間表示）

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性構(gòu)造出新函數(shù)，利用xf′（x）-f（x）＜0，得到：[$\frac{f（x）}{x}$]′＜0，進(jìn)一步分析出奇函數(shù)的單調(diào)性，分別討論x的范圍，求出不等式的解集即可．

解答 解：f（x）定義在R上的偶函數(shù)f（x），則f（-x）=f（x），
當(dāng)x∈（-∞，0]時，恒有xf′（x）＜f（-x）=f（x），
則：xf′（x）-f（x）＜0，即：[$\frac{f（x）}{x}$]′＜0，
∴函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{x}$在（-∞，0）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
由于f（x）為偶函數(shù)，
則F（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=-$\frac{f（x）}{x}$=-F（x），則：F（x）為奇函數(shù)．
所以函數(shù)F（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，
而f（-3）=0，則F（-3）0，F(xiàn)（3）=0，
∵$\frac{f（x）}{x}≤0$，∴x＜0時：F（x）≤F（-3），解得：-3≤x＜0，
x＞0時，F(xiàn)（x）≤F（3），解得：x≥3
故答案為：[-3，0）∪[3，+∞）．

點評 本題考查的知識要點：函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，是一道中檔題．