Question

1．已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx-cosx）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）展開(kāi)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，利用倍角公式降冪再用兩角差的正弦化積，則周期可求；
（Ⅱ）由x的范圍求得相位的范圍，進(jìn)一步求出sin（2x$-\frac{π}{4}$）的范圍得答案．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=cosx（sinx-cosx）=cosxsinx-cos²x
=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{1+cos2x}{2}=\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）-\frac{1}{2}$．
∴T=$\frac{2π}{2}=π$；
（Ⅱ）∵$x∈[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$，∴2x∈[$-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]，
則2x$-\frac{π}{4}$∈[$-\frac{3π}{4}，\frac{π}{4}$]，
則sin（2x$-\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
∴函數(shù)f（x）的最大值和最小值分別為0和$-\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．