Question

18．下列函數(shù)中，在其定義域上既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上單調(diào)遞減的是（　�。�

• A． y=x²
• B． y=x+1
• C． y=-lg|x|
• D． y=-2^x

Answer 1

分析 選項(xiàng)A：y=x²在（0，+∞）上單調(diào)遞增，不符合條件；
選項(xiàng)B：代入特殊值x=±1，可知f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1），故y=x+1是非奇非偶函數(shù)，不符合條件；
選項(xiàng)C：先求出定義域，再根據(jù)奇偶性的定義，確定y=-lg|x|是偶函數(shù)，x＞0時(shí)，y=-lg|x|=-lgx單調(diào)遞減，故符合條件；
選項(xiàng)D：代入特殊值x=±1，可知f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1），故y=x+1是非奇非偶函數(shù)，不符合條件；

解答 解：選項(xiàng)A：f（x）=x²的定義域?yàn)镽，又∵f（-x）=（-x）²=x²，∴f（-x）=f（x），即f（x）是偶函數(shù)．但y=x²在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故A不正確；
選項(xiàng)B：記f（x）=x+1，則f（1）=2，f（-1）=0，∵f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1），∴y=x+1是非奇非偶函數(shù)，故B不正確；
選項(xiàng)C：定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），記f（x）=-lg|x|，
∵f（-x）=-lg|-x|=-lg|x|，∴f（-x）=f（x），即f（x）是偶函數(shù)
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，y=-lgx．∵y=lgx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴y=-lgx在（0，+∞）上單調(diào)遞減故C正確；
選項(xiàng)D：記f（x）=-2^x，則f（1）=-$\frac{1}{2}$，f（-1）=-2，∵f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1），∴y=-2^x是非奇非偶函數(shù)，故D不正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．