Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t≠0），其中0≤α＜π，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂：ρ=2sinθ，C₃：$ρ=2\sqrt{3}cosθ$．
（1）求C₂與C₃交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；
（2）若C₁與C₂相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)M（-1，-1），求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可把曲線C₂與C₃的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立解出即可得出．
（2）把曲線C₁的參數(shù)方程代入曲線C₂：可得t²-2（cosα+2sinα）t+4=0，利用|MA|•|MB|=t₁t₂即可得出．

解答 解：（1）曲線C₂：ρ=2sinθ，化為ρ²=2ρsinθ，∴直角坐標(biāo)方程為：x²+y²=2y；
C₃：$ρ=2\sqrt{3}cosθ$，即ρ²=2$\sqrt{3}ρ$cosθ，可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2$\sqrt{3}x$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2y}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴C₂與C₃交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（0，0），$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$．
（2）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t≠0），其中0≤α＜π，
代入曲線C₂：可得（-1+tcosα）²+（-1+tsinα）²=2（-1+tsinα），
化為：t²-2（cosα+2sinα）t+4=0，
∴|MA|•|MB|=t₁t₂=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法、曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)、直線的參數(shù)方程應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．