Question

19．已知函數(shù)$f（x）=3si{n^2}（x+\frac{π}{6}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinxcosx-\frac{1}{2}{cos^2}x$
（1）求函數(shù)f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值與最小值；
（2）已知$f（2{x_0}）=\frac{49}{20}$，x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{24}$），求cos4x₀的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值；
（2）利用$f（2{x_0}）=\frac{49}{20}$，x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{24}$），代入化簡，找出與cos4x₀的值關(guān)系，可求解．

解答 解：函數(shù)$f（x）=3si{n^2}（x+\frac{π}{6}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinxcosx-\frac{1}{2}{cos^2}x$
化簡可得：3$（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos（2x+\frac{π}{3}））$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x）$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$cos2x×$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$cos2x
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+$\frac{5}{4}$
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$．
∵x∈$[0，\frac{π}{2}]$上，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]．
函數(shù)f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值為$\frac{13}{4}$，最小值為$\frac{1}{4}$．
（2）∵$f（2{x_0}）=\frac{49}{20}$，即2sin（4x₀-$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$=$\frac{49}{20}$
?sin（4x₀-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$
∵x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{24}$），
4x₀-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴cos（4x₀-$\frac{π}{6}$）=$-\frac{4}{5}$．
cos4x₀=cos[4x₀-$\frac{π}{6}$）$+\frac{π}{6}$]=cos（4x₀-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（4x₀-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$（-\frac{4}{5}）$-$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．