Question

4．已知$f（x）=|{\begin{array}{l}{ax}&x\\{-2}&{2x}\end{array}}|（a$為常數(shù)），$g（x）=\frac{{2{x^2}+1}}{x}$，且當(dāng)x₁，x₂∈[1，4]時(shí)，總有f（x₁）≤g（x₂），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（-∞，-\frac{1}{6}]$．

Answer 1

分析 依題意可知，當(dāng)x₁，x₂∈[1，4]時(shí)，f（x₁）_max≤g（x₂）_min，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可求g（x₂）_min=g（1）=3；再對(duì)f（x）=2ax²+2x中的二次項(xiàng)系數(shù)a分a=0、a＞0、a＜0三類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可求得f（x）在區(qū)間[1，4]上的最大值，解f（x）_max≤3即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：依題意知，當(dāng)x₁，x₂∈[1，4]時(shí)，f（x₁）_max≤g（x₂）_min，
由“對(duì)勾'函數(shù)單調(diào)性知，$g（x）=\frac{{2{x^2}+1}}{x}$=2x+$\frac{1}{x}$=2（x+$\frac{\frac{1}{2}}{x}$）在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞增，
∴g（x₂）_min=g（1）=3；
∵$f（x）=|\begin{array}{l}{ax}&{x}\\{-2}&{2x}\end{array}|$=2ax²+2x，
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=2x在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞增，∴f（x）_max=f（4）=8≤3不成立，故a≠0；
∴f（x）=2ax²+2x為二次函數(shù)，其對(duì)稱軸方程為：x=-$\frac{1}{2a}$，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞增，f（x）_max=f（4）=8≤3不成立，故a＞0不成立；
當(dāng)a＜0時(shí)，
1°若-$\frac{1}{2a}$≤1，即a≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞減，
f（x）_max=f（1）=2a+2≤3恒成立，即a≤-$\frac{1}{2}$時(shí)滿足題意；
2°若1＜-$\frac{1}{2a}$＜4，即-$\frac{1}{2}$＜a＜-$\frac{1}{8}$時(shí)，f（x）_max=f（-$\frac{1}{2a}$）=-$\frac{1}{2a}$≤3，解得：-$\frac{1}{2}$＜a≤-$\frac{1}{6}$；
3°若-$\frac{1}{2a}$≥4，即-$\frac{1}{8}$≤a＜0時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞增，
f（x）_max=f（4）=32a+8≤3，解得a≤-$\frac{5}{32}$∉（-$\frac{1}{8}$，0），故不成立，
綜合1°2°3°知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：（-∞，-$\frac{1}{6}$]．
故答案為：$（-∞，-\frac{1}{6}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，由題意分析出當(dāng)x₁，x₂∈[1，4]時(shí)，f（x₁）_max≤g（x₂）_min是關(guān)鍵，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于難題．