Question

在直角坐標平面上給定一曲線y²=2x.

（1）設點A的坐標為（，0）,求曲線上距點A最近的點P之坐標及相應的距離|PA|；

（2）設點A的坐標為（a,0）a∈R,求曲線上的點到點A距離的最小值d，并寫出d=?f（a）的?函數表達式.

Answer 1

解：（1）設M（x,y）為曲線y²=2x上任意一點，則|MA|²=（x-）²+y²=x²+x+=（x+）²+.

因為x∈［0,+∞）,?

所以當x=0時，|MA|²_min=（）²+=，?

即|MA|_min=23.?

所以距點A最近的點P坐標為（0，0），這時|PA|=.

（2）依題設得，

d²=（x-a）²+y²=x²-2ax+a²+2x?

=x²-2（a-1）x+a²?

=［x-（a-1）］²+（2a-1），?

因為x∈［0,+∞）,?

所以分a-1≥0和a-1＜0兩種情況討論.?

當a≥1時，d_min²=2a-1,?

即d_min=；?

當a＜1時，d_min²=［0-（a-1）］²+（2a-1）=a²,

即d_min=|a|，這時恰好拋物線頂點（0，0）與點A（a,0）最近.?

所以d=f（a）=