Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|lg（-x）|，x＜0\\{x^3}-6x+4，x≥0\end{array}\right.$若關(guān)于x的函數(shù)y=[f（x）]²-bf（x）+1有8個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（　�。�

• A． （2，8）
• B． $[2，\frac{17}{4}）$
• C． $（2，\frac{17}{4}]$
• D． （2，8]

Answer 1

分析 方程f²（x）-bf（x）+1=0有8個(gè)不同實(shí)數(shù)解，即要求對(duì)應(yīng)于f（x）等于某個(gè)常數(shù)k，有2個(gè)不同的k，再根據(jù)函數(shù)對(duì)應(yīng)法則，每一個(gè)常數(shù)可以找到4個(gè)x與之對(duì)應(yīng)，就出現(xiàn)了8個(gè)不同實(shí)數(shù)解故先根據(jù)題意作出f（x）的簡(jiǎn)圖：由圖可知，只有滿足條件的k在開(kāi)區(qū)間（0，4]時(shí)符合題意．再根據(jù)一元二次方程根的分布的理論可以得出答案．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|lg（-x）|，x＜0\\{x^3}-6x+4，x≥0\end{array}\right.$作出f（x）的簡(jiǎn)圖，如圖所示：
由圖象可得當(dāng)f（x）在（0，4]上任意取一個(gè)值時(shí)，都有四個(gè)不同的x與f（x）的值對(duì)應(yīng)．
再結(jié)合題中函數(shù)y=f²（x）-bf（x）+1 有8個(gè)不同的零點(diǎn)，
可得關(guān)于k的方程 k² -bk+1=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根k₁、k₂，且0＜k₁≤4，0＜k₂≤4．
∴應(yīng)有$\left\{\begin{array}{l}{△=^{2}-4＞0}\\{0＜\frac{2}＜4}\\{0-b×0+1＞0}\\{16-4b+1≥0}\end{array}\right.$，解得 2＜b≤$\frac{17}{4}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的圖象與一元二次方程根的分布的知識(shí)，采用數(shù)形結(jié)合的方法解決，使本題變得易于理解．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷，屬于中檔題．