Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在x=0處的極小值為2，求a，b的值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）+ln（x+1），當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）≥1+b，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f（x）在x=0處的極小值為2，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為e^x-ax+ln（x+1）≥1在x∈[0，+∞）恒成立，令h（x）=e^x-ax+ln（x+1），（x≥0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x-a，
若f（x）在x=0處的極小值為2，
則 $\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=1-a=0}\\{f（0）=1+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）g（x）=f（x）+ln（x+1）=e^x-ax+b+ln（x+1），
當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）≥1+b，即e^x-ax+ln（x+1）≥1在x∈[0，+∞）恒成立，
令h（x）=e^x-ax+ln（x+1），（x≥0），
則h′（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a，
記m（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a，則m′（x）=e^x-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$，
當(dāng)x≥0時(shí)，e^x＞1，$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$≤1，此時(shí)m'（x）≥0，
h'（x）在（0，+∞）上遞增，
h'（x）≥h'（0）=2-a，
a≤2時(shí)，h′（x）≥0，
所以h（x）在[0，+∞）上遞增，
故h（x）≥h（0）=1成立；
a＞2時(shí)，?x₀∈（0，+∞），使得h（x）在[0，x₀）遞減，在（x₀，+∞）遞增，
故h（x）_min=h（x₀）＜h（0）=1，不合題意，
故a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度大．