Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，與雙曲線$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$有相同漸近線，且一條準線方程為$y=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$的雙曲線的標(biāo)準方程為$\frac{{y}^{2}}{8}$-$\frac{{x}^{2}}{10}$=1．

Answer 1

分析 求得已知雙曲線的漸近線方程，設(shè)出所求雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），求出漸近線方程和準線方程，由題意可得$\frac{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進而得到雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$的漸近線為y=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，準線方程為y=±$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由題意可得$\frac{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
又a²+b²=c²，解得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{10}$，
即有所求雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{8}$-$\frac{{x}^{2}}{10}$=1．
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{8}$-$\frac{{x}^{2}}{10}$=1．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查雙曲線的漸近線方程和準線方程的運用，考查運算能力，屬于中檔題．