Question

1．若等邊三角形ABC任一底邊上的高為$\sqrt{3}$，平面上任意一點P滿足$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 建立適當?shù)闹苯亲鴺讼�，由正三角形ABC，可設C（0，0），A（2，0），B（1，$\sqrt{3}$），利用平面向量的坐標表示，求出點P的坐標，congeal求出對應數(shù)量積．

解答 解：如圖所示：

以C點為原點，以AC所在直線為x軸建立直角坐標系，
可得C（0，0），A（2，0），B（1，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{CB}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CA}$=（2，0），
∴$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$=（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴P（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴$\overrightarrow{PA}$=（3，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{PB}$=（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=3×2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{16}{3}$．
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點評 本試題考查了平面向量的坐標表示與運算問題．也體現(xiàn)了向量的代數(shù)化手段的重要性，是基礎題目．