Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=e處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，2-e）求a的值；（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.781828…）；
（2）當(dāng)a≤2時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)1＜x＜2時(shí)，證明：$\frac{2}{x-1}＞\frac{1}{lnx}-\frac{1}{ln（2-x）}$．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出函的切線斜率，即可求得a的值；
（2）求導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a，求導(dǎo)，令g′（x）=0，求得g（x）的最小值，判斷f′（x）≥0，可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（3）由（2）知f（x）在（1，2）上是增函數(shù)，可知（x+1）lnx＞2（x-1），即$\frac{1}{lnx}$＜$\frac{x+1}{2（x-1）}$利用函數(shù)的單調(diào)性，求得-$\frac{1}{ln（2-x）}$＜$\frac{3-x}{2（x-1）}$，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算即可證明不等式成．

解答 解：（1）f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a，x∈（0，+∞）
由題意可知：$\frac{f（e）-f（2-e）}{e-0}$=f′（e），
整理得：e+1-a（e-1）-（2-e）=e（1+$\frac{1}{e}$+1-a），解得a=2；
（2））f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a，記g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a，
g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，令g′（x）=0，x=1，
∴g（x）_min=g（1）=2-a，
∵a≤2，
∴2-a≥0，
∴g（x）≥g（1）=0，f′（x）≥0，
∴函數(shù)f（x）的定義域上為增函數(shù)；
（3）證明：由（2）知當(dāng)a=2時(shí)，f（x）在（1，2）上是增函數(shù)，
∴f（x）＞f（1）=0，即（x+1）lnx＞2（x-1），
∴$\frac{1}{lnx}$＜$\frac{x+1}{2（x-1）}$，①
∵1＜x＜2，
∴0＜2-a＜1，$\frac{1}{2-x}＞1$，
∴$\frac{1}{ln\frac{1}{2-x}}$＜$\frac{\frac{1}{2-x}+1}{2（\frac{1}{2-x}-1）}$=$\frac{3-x}{2（x-1）}$，
即-$\frac{1}{ln（2-x）}$＜$\frac{3-x}{2（x-1）}$，②
①+②得：$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{ln（2-x）}$＜$\frac{x+1}{2（x-1）}$+$\frac{3-x}{2（x-1）}$=$\frac{2}{x-1}$
∴原式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)思想求切線的斜率、單調(diào)區(qū)間和極值，同時(shí)考查構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，運(yùn)用單調(diào)性證明不等式，屬于中檔題．