Question

16．已知函數(shù)f（x）=alnx+x²-1
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）＞（a+1）lnx+ax-1在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求出f（1），f′（1），代入切線方程即可；（2）問題轉化為a＜x-$\frac{lnx}{x}$恒成立，令g（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）由題意得：f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x，（x＞0），
∴f′（1）=a+2，又f（1）=0，
∴切線方程是y=（a+2）（x-1），
即（a+2）x-y-a-2=0；
（2）由f（x）＞（a+1）lnx+ax-1得：ax＜x²-lnx，
∵x＞1，∴a＜x-$\frac{lnx}{x}$恒成立，
令g（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，則g′（x）=$\frac{{x}^{2}+lnx-1}{x}$，
令h（x）=x²+lnx-1，則h′（x）=2x+$\frac{1}{x}$＞0，
∴h（x）在（1，+∞）遞增，而h（1）=0，
∴x∈（1，+∞）時，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）遞增，
∴g（x）＞g（1）=1，
∴當a≤1時，a＜g（x）恒成立，
∴a的范圍是（-∞，1]．

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調性問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．