Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²+4ax+2a+6．
（1）若函數(shù)f（x）=log₂  f（x）的最小值為2，求a的值；
（2）若對(duì)任意x∈R，都有f（x）≥0成立，求函數(shù)g（a）=2-a|a+3|的值域．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=log₂  f（x）的最小值為2，即f（x）的最小值為4；關(guān)鍵在于2a+6-4a²=4．
（2）函數(shù)f（x）≥0恒成立，所以△≤0；同時(shí)可得g（a）在區(qū)間[-1，$\frac{3}{2}$]單調(diào)遞減，即可求出g（a）的值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=log₂f（x）的最小值為2，即f（x）的最小值為4；
∵f（x）=x²+4ax+2a+6=（x+2a）²+2a+6-4a²≥4；
∴2a+6-4a²=4⇒a=1 或 a=$-\frac{1}{2}$；
（2）∵函數(shù)f（x）≥0恒成立，
∴△=16a²-4（2a+6）≤0，計(jì)算得出：-1$≤a≤\frac{3}{2}$；
∴g（a）=2-a|a+3|=2-a（a+3）=-（a+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{17}{4}$；
∵g（a）在區(qū)間[-1，$\frac{3}{2}$]單調(diào)遞減；
∴g（a）_min=g（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{19}{4}$，g（a）_max=g（-1）=4．
∴函數(shù)g（a）的值域?yàn)閇-$\frac{19}{4}$，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)恒成立，二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的最值知識(shí)點(diǎn)，屬中檔題．