Question

10．如圖，橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{1}{2}$，其左焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為3，點(diǎn)P（2，1）為橢圓外一點(diǎn)，不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）求△ABP面積最大值時(shí)的直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的幾何性質(zhì)可知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a+c=3，b²=a²-c²，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）由A和B在橢圓上，將A和B點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法求得直線AB的斜率k_AB，設(shè)直線AB的方程，y=$-\frac{3}{2}x+m$，代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理求得x_A+x_B，x_A•x_B，由弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式求得△ABP的面積S_△ABP，m=1-$\sqrt{7}$時(shí)，S_△ABP取最大值，即可求得直線l的方程．

解答 解：（1）由題意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
左焦點(diǎn)（-c，0）到橢圓上點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為3，
即使a+c=3，可解得：a=2，c=1，
b²=a²-c²=3，
∴所求橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；-------------------（4分）
（2）易得直線OP的方程：y=$\frac{1}{2}$x，
設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），R（x₀，y₀）
其中y₀=$\frac{1}{2}$x₀，
∵A，B在橢圓上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{A}^{2}}{4}+\frac{{y}_{A}^{2}}{3}=1}\\{\frac{{x}_{B}^{2}}{4}+\frac{{y}_^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
∴k_AB=$\frac{{y}_{A}-{y}_{B}}{{x}_{A}-{x}_{B}}$=-$\frac{3{x}_{A}+{x}_{B}}{4{y}_{A}+{y}_{B}}$=-$\frac{3}{2}$------------------（6分）
設(shè)直線AB的方程為l：y=$-\frac{3}{2}x+m$（m≠0），
代入橢圓：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=-\frac{3}{2}x+m}\end{array}\right.$，整理得：3x²-3mx+m²-3=0，$由△＞0可得-2\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}且m≠0$
根據(jù)韋達(dá)定理可知：x_A+x_B=m，x_A•x_B=$\frac{{m}^{2}-3}{3}$，-----------------（8分）
∴|AB|=$\sqrt{1+{k_{AB}}^2}|{x{\;}_A-{x_B}}|=\sqrt{1+{k_{AB}}^2}\sqrt{{{（x{\;}_A+{x_B}）}^2}-4x{\;}_A{x_B}}=\sqrt{1+{k_{AB}}^2}\sqrt{4-\frac{m^2}{3}}$，
∵點(diǎn)P（2，1）到直線l的距離為：d=丨$\frac{-3+m-1}{\sqrt{1+{k}_{AB}^{2}}}$丨=丨$\frac{m-4}{\sqrt{1+{k}_{AB}^{2}}}$丨，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$•d•|AB|=$\frac{1}{2}$•|m-4|•$\sqrt{4-\frac{{m}^{2}}{3}}$，------------------（10分）
當(dāng)m=1-$\sqrt{7}$時(shí)，S_△ABP取最大值，
此時(shí)直線l的方程y=-$\frac{3}{2}$+1-$\sqrt{7}$．------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)差法，弦長(zhǎng)公式點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式的綜合運(yùn)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．