1.已知雙曲線$Γ:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點A為雙曲線Γ的左頂點,點M(x1,y1)(x1>0,y1>0)為雙曲線Γ漸近線上的一點,且$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow 0,\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$均為焦距的一半,若$∠MAN=\frac{2π}{3}$,則雙曲線Γ的漸近線為( 。
A.$y=±\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x$B.$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}x$C.$y=±\frac{{\sqrt{5}}}{2}x$D.$y=±\frac{{2\sqrt{5}}}{5}x$

分析 求出M,N的坐標,利用余弦定理建立方程,即可求出雙曲線Γ的漸近線.

解答 解:由題意,A(-a,0),直線MN的方程為y=$\frac{a}$x,N(-x1,-y1),
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$,∴M(a,b),N(-a,-b),
∵$∠MAN=\frac{2π}{3}$,
∴由余弦定理可得4c2=(a+a)2+b2+b2-2$\sqrt{(a+a)^{2}+^{2}}•b•cos\frac{2π}{3}$,
化簡可得3b2=4a2
∴$\frac{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴雙曲線Γ的漸近線為y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x.
故選:A.

點評 本題考查雙曲線Γ的漸近線,考查余弦定理的運用,正確運用余弦定理是關(guān)鍵.

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