Question

10．設f（x）、g（x）、h（x）是定義域為R的三個函數．對于命題：
①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T為周期的函數，則f（x）、g（x）、h（x） 均是以T為周期的函數；
 ②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函數，則f（x）、g（x）、h（x）均是增函數，
下列判斷正確的是（　　）

• A． ①和②均為真命題
• B． ①和②均為假命題
• C． ①為真命題，②為假命題
• D． ①為假命題，②為真命題

Answer 1

分析 ①根據定義得f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），由此得出：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判斷出真假；
②舉反例說明命題不成立．

解答 解：對于①，∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），
前兩式作差可得：g（x）-h（x）=g（x+T）-h（x+T），結合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），
同理可得：f（x）=f（x+T），所以①是真命題．
對于②，舉反例說明：f（x）=2x，g（x）=-x，h（x）=3x；
f（x）+g（x）=x，f（x）+h（x）=5x，g（x）+h（x）=2x都是定義域R上的增函數，但g（x）=-x不是增函數，所以②是假命題；
故選：C．

點評 本題考查了函數的單調性與周期性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題目．