Question

2．已知圓O是△ABC的內(nèi)切圓，與AC，BC分別切于D，E兩點(diǎn)，如圖所示，連接BD交圓O于點(diǎn)G，BC=BA=2$\sqrt{2}$，AC=4 
（I）求證：EG∥CO；
（Ⅱ）求BC的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)DE，∠CBA的平分線與AC邊上的中線重合，圓心O在直線BD上，CO是∠ECD的角平分線，由此能證明EG∥CO．
（Ⅱ）AD=DC=2，且∠BDC=90°，由勾股定理得BD=2，由圓的切線長定理，得BE=2$\sqrt{2}$-2，再由切割線定理能求出BG．

解答 （Ⅰ）證明：連結(jié)DE，∵BC=BA，∴∠CBA的平分線與AC邊上的中線重合，
三角形的內(nèi)切圓的圓心是三條角平分線的交點(diǎn)，
∴圓心O在直線BD上，
∴GD為圓O的直徑，∴EG⊥ED，∴CO是∠ECD的角平分線，
又⊙O與AC、BC分別相切于D、E兩點(diǎn)，
∴CE=CD，∴ED⊥CO，
∴EG∥CO．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：AD=DC=$\frac{1}{2}$AC=2，且∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD²=BC²-CD²=（2$\sqrt{2}$）²-2²=4，
∴BD=2，
由圓的切線長定理，得CE=CD=2，
∴BE=2$\sqrt{2}$-2，
由切割線定理得BE²=BG•BD，即（2$\sqrt{2}$-2）²=BG•2，
解得BG=6-4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩直線平行的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意勾股定理、切線長定理、切割線定理的合理運(yùn)用．