Question

9．證明：當a＞3時，關于x方程x²+$\frac{8}{x}$=a²+$\frac{8}{a}$有3個實數(shù)解．

Answer 1

分析 化簡x²+$\frac{8}{x}$=a²+$\frac{8}{a}$可得（x-a）（x+a-$\frac{8}{ax}$）=0，從而判斷方程的根的個數(shù)．

解答 證明：∵x²+$\frac{8}{x}$=a²+$\frac{8}{a}$，
∴x²+$\frac{8}{x}$-（a²+$\frac{8}{a}$）=0，
即（x-a）（x+a-$\frac{8}{ax}$）=0，
即（x-a）$\frac{a{x}^{2}+{a}^{2}x-8}{ax}$=0，
即∵△=（a²）²-4×a×（-8）=a⁴+32a，
∵a＞3，∴△＞0；
∴ax²+a²x-8=0有兩個不同的根，
又∵當x=a時，ax²+a²x-8=2a³-8＞0，
故（x-a）$\frac{a{x}^{2}+{a}^{2}x-8}{ax}$=0有三個不同的根，
故當a＞3時，關于x方程x²+$\frac{8}{x}$=a²+$\frac{8}{a}$有3個實數(shù)解．

點評 本題考查了方程的化簡與運算，同時考查了整體思想與轉(zhuǎn)化思想的應用．