Question

14．已知f（x）=（2x-3）⁹=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₉（x-1）⁹，則a₁+…+a₉=2，f（9）+8被8除的余數是7．

Answer 1

分析 根據f（x）=[-1+2（x-1）]⁹，令x=1，可得a₀=-1，令x=2，可得a₁+…+a₉的值．根據f（9）=15⁹=（16-1）⁹ 的解析式，可得除了末項外，其余各項都能被8整除，而末項為-1，從而求得f（9）+8被8除的余數．

解答 解：f（x）=（2x-3）⁹=[-1+2（x-1）]⁹=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₉（x-1）⁹，
令x=1，可得a₀=-1，令x=2，可得-1+a₁+…+a₉=1，∴a₁+…+a₉=2．
f（9）=15⁹=（16-1）⁹=${C}_{9}^{0}$•16⁹+${C}_{9}^{1}$•16⁸•（-1）¹+${C}_{9}^{2}$•16⁷•（-1）²+…+${C}_{9}^{8}$•16•（-1）⁸+${C}_{9}^{9}$•（-1）⁹，
除了末項外，其余各項都能被8整除，而末項為-1，故f（9）+8被8除的余數是7，
故答案為：2；7．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，注意根據題意，分析所給代數式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數和，可以簡便的求出答案，還考查了整除性問題，屬于基礎題．