Question

19．經觀測發(fā)現在一般情況下，一過江大橋的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數，函數v（x）的圖象如圖所示．
（1）根據圖象寫出當0≤x≤180時，函數v（x）的表達式；
（2）當車流密度x多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）f（x）=x•v（x）可以達到最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）由圖知：當30≤x≤180時設為v（x）=kx+b，列出方程求出k、b的值，利用分段函數求出函數v（x）的表達式；
（2）由（1）求出f（x）=x•v（x），根據解析式對x分段，分別利用一次函數的單調性、二次函數的性質求出各段上函數的最大值，比較后即可求出答案．

解答 解：（1）由圖得，
當30≤x≤180時，車流速度v（x）是車流密度x的一次函數．
設為v（x）=kx+b，
∵當x=180輛/千米時，此時車流速度v=0；
當x=30輛/千米時，車流速度v=60千米/小時，
∴v（30）=30k+b=60，v（180）=180k+b=0，
解得k=$-\frac{2}{5}$，b=72，則v（x）=$-\frac{2}{5}$x+72，
∴V（x）=$\left\{\begin{array}{l}{60，0≤x＜30}\\{-\frac{2}{5}x+72，30≤x≤180}\end{array}\right.$；
（2）由（1）得，f（x）=x•v（x）=$\left\{\begin{array}{l}{60x，0≤x＜30}\\{-\frac{2}{5}{x}^{2}+72x，30≤x≤180}\end{array}\right.$，
當0≤x＜30時，f（x）為增函數，
所以f（x）＜60×30=1800；
當30≤x≤180時，f（x）=$-\frac{2}{5}（x-90）^{2}+3240$，
則當x=90時，f（x）在區(qū)間[30，180]上取得最大值3240，
綜上，當x=90時，f（x）在區(qū)間[0，180]上取得最大值3240．
即當車流密度為90輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3240輛/小時．

點評 本題考查分段函數解析式，分段函數求最大值問題，以及二次函數的性質的實際應用，屬于中檔題．