分析 (Ⅰ)求得過(guò)直線An(xn,yn)的直線方程并與xy=1聯(lián)立,消去y整理即可求得xn與xn+1的關(guān)系式;
(Ⅱ)將bn=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$代入$\frac{_{n+1}}{_{n}}$,求得$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=-2,然后再求出b1,數(shù)列{bn}是以-2為首項(xiàng),-2為公比等比數(shù)列,并求得通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)根據(jù)關(guān)系式cn=3n-λbn,得到數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.然后得到cn+1-cn,再分別根據(jù)n奇偶性進(jìn)行討論,綜合可得λ的取值范圍.
解答 解:(Ⅰ)過(guò)An(xn,yn)的直線方程為y-yn=-$\frac{1}{{x}_{n}+2}$(x-xn),
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y-{y}_{n}=-\frac{1}{{x}_{n}+2}(x-{x}_{n})}\\{xy=1}\end{array}\right.$;
消y得:$\frac{1}{{x}_{n}+2}{x}^{2}-({y}_{n}+\frac{{x}_{n}}{{x}_{n}+1})+1=0$,
所以:xnxn+1=xn+2,即xn+1=$\frac{{x}_{n}+2}{{x}_{n}}$;
(Ⅱ)證明:$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{\frac{1}{{x}_{n+1}-2}+\frac{1}{3}}{\frac{1}{{x}_{n}-2}+\frac{1}{3}}$=$\frac{\frac{{x}_{n}}{2-{x}_{n}}+\frac{1}{3}}{\frac{1}{{x}_{n}-2}+\frac{1}{3}}$=$\frac{\frac{3{x}_{n}+2-{x}_{n}}{3(2-{x}_{n})}}{\frac{3+{x}_{n}-2}{3({x}_{n}-2)}}$=-2,
∴{bn}是等比數(shù)列,首項(xiàng)b1=$\frac{1}{{x}_{1}-2}+\frac{1}{3}$=-2,
∴數(shù)列{bn}是以-2為首項(xiàng),-2為公比等比數(shù)列,
∴數(shù)列{bn}通項(xiàng)公式bn=(-2)n;
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知:bn=(-2)n,要使cn+1-cn成恒成立,
則cn+1-cn=[3n+1-λ(-2)n+1]-[3n-λbn]恒成立.
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),即λ<($\frac{3}{2}$)n-1恒成立.
因?yàn)閚=1時(shí)($\frac{3}{2}$)n-1取最小值1,
∴λ<1.
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),λ>-($\frac{3}{2}$)n-1恒成立.
因?yàn)楫?dāng)n=2時(shí)-($\frac{3}{2}$)n-1取最大值-$\frac{3}{2}$,
∴λ>-$\frac{3}{2}$,
綜上,得:-$\frac{3}{2}$<λ<1,
∴λ=-1,
所以λ=-1時(shí),使得對(duì)任意n∈N*,都有cn+1>cn成立
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與不等式綜合應(yīng)用,考查等比數(shù)列證明及通項(xiàng)公式,考查分類討論思想的應(yīng)用,屬于中檔題.
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A. | y=-2sin(2x) | B. | y=-2sin(2x+$\frac{π}{3}$) | C. | y=-2sin(2x-$\frac{π}{3}$) | D. | y=-2sin(2x+$\frac{2π}{3}$) |
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A. | y=x|x| | B. | y=x3+1 | C. | y=$\sqrt{x}$ | D. | y=x+|x| |
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A. | (0,$\frac{1}{5}$) | B. | (0,$\frac{1}{3}$) | C. | ($\frac{1}{5}$,$\frac{1}{3}$) | D. | ($\frac{1}{3}$,1) |
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A. | $\frac{121}{27}$ | B. | $\frac{122}{27}$ | C. | $\frac{121}{81}$ | D. | $\frac{122}{81}$ |
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A. | $\frac{n}{2(n+2)}$ | B. | $\frac{n}{2(n+1)}$ | C. | $\frac{2n}{n+2}$ | D. | $\frac{n}{n+1}$ |
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