Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+3x，其圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l與直線x-3y-7=0垂直，則直線l與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，2）
• C． （0，3）
• D． （0，4）

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1）=3a+3，由兩直線垂直的條件可得3a+3=-3，求得a的值，代入原函數(shù)解析式，求出f（1），由直線方程的點(diǎn)斜式得到l的方程，求出直線l與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：由f（x）=ax³+3x，得f′（x）=3ax²+3，即有f′（1）=3a+3．
∵函數(shù)f（x）=ax³+3x在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l與直線x-3y-7=0垂直，
∴3a+3=-3，解得a=-2．
∴f（x）=-2x³+3x，
則f（1）=-2+3=1．
∴切線方程為y-1=-3（x-1），
即6x+y-4=0．
取x=0，得y=4，
直線l與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，4）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程，在曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，同時(shí)考查兩直線垂直的條件，屬于中檔題．