Question

5．現(xiàn)需設(shè)計2016年春季湖北省重點高中聯(lián)考協(xié)作體期中考試數(shù)學(xué)試卷，該試卷含有大小相等的左右相等兩個矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為720cm²，四周空白的寬度為4cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為2cm，設(shè)試卷的高和寬分別為xcm，ycm．
（Ⅰ）寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）如何確定該試卷的高與寬的尺寸（單位：cm），能使試卷的面積最小？

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)試卷的高和寬分別為xcm，ycm，則每欄的高和寬分別為x-8，$\frac{y-10}{2}$，其中x＞8，y＞10，利用兩欄的面積之和為720cm²，建立方程，即可寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）試卷的面積S=xy=x（$\frac{720}{x-8}$+10），利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意知試卷的高和寬分別為xcm，ycm，則每欄的高和寬分別為x-8，$\frac{y-10}{2}$，其中x＞8，y＞10…（1分）
（I）兩欄面積之和為2（x-8）•$\frac{y-10}{2}$=720…（3分）
由此得y=$\frac{720}{x-8}$+10（x＞8）…（5分）
（II）試卷的面積S=xy=x（$\frac{720}{x-8}$+10）…（7分）
∴S′=$\frac{-5760}{（x-8）^{2}}$+10…（8分）
令S′=0，x=32（負(fù)數(shù)舍去）…（10分）
∴函數(shù)在（8，32）上單調(diào)遞減，在（32，+∞）上單調(diào)遞增
∴x=32，S取得最小值…（12分）
故：當(dāng)試卷的高為32cm，寬為40cm時，可使試卷的面積最小．

點評 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，正確確定函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．