10.如圖,在正四面體ABCD(正四面體是所有棱長都相等的四面體)中,棱長為2,E、F分別為BC、AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}$的值;
(Ⅱ)求二面角A-BC-D的余弦值.

分析 (Ⅰ)求出$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$,由此能求出結(jié)果.
(Ⅱ)連接DE,則∠AED為二面角A-BC-D的平面角,由此能求出二面角A-BC-D的余弦值.

解答 解:(Ⅰ)∵在正四面體ABCD(正四面體是所有棱長都相等的四面體)中,
棱長為2,E、F分別為BC、AD的中點(diǎn),
∴$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$,
$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$,
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}$=($\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$)•($\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$)
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}$
=$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{CA}|×cos120°$-$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$+$\frac{1}{4}×|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AD}|×cos60°$+$\frac{1}{4}×|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{AD}|×cos60°$
=$\frac{1}{2}×2×2×(-\frac{1}{2})-\frac{1}{2}×{2}^{2}+\frac{1}{4}×2×2×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}×2×2×\frac{1}{2}$=-2,
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}=-2$.
(Ⅱ)連接DE,則∠AED為二面角A-BC-D的平面角,
∵AB=AC=2,
∴$AE=\sqrt{3},DE=\sqrt{3},AD=2$,
∴$cos∠AED=\frac{1}{3}$,
∴二面角A-BC-D的余弦值為$\frac{1}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的求法,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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