Question

20．下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減的是（　�。�

• A． f（x）=sinx
• B． f（x）=-|x+1|
• C． $f（x）=ln\frac{2-x}{2+x}$
• D． f（x）=$\frac{1}{2}$（a^x+a^-x），（a＞0，a≠1）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷即可．

解答 解：A．f（x）=sinx是奇函數(shù)，在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增，不滿足條件．
B．f（x）=-|x+1|關(guān)于x=-1對(duì)稱不是奇函數(shù)，不滿足條件．
C．f（-x）+f（x）=ln$\frac{2+x}{2-x}$+ln$\frac{2-x}{2+x}$=ln（$\frac{2+x}{2-x}$•$\frac{2-x}{2+x}$）=ln1=0，則f（-x）=-f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
f（x）=ln$\frac{2-x}{2+x}$=ln$\frac{4-（x+2）}{x+2}$=ln（-1+$\frac{4}{x+2}$），
則y=-1+$\frac{4}{x+2}$在-1≤x≤1上是減函數(shù)，則f（x）=ln（-1+$\frac{4}{x+2}$）在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)，滿足條件．
D．f（-x）=$\frac{1}{2}$（a^-x+a^x）=f（x），則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，不滿足條件．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義以及函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．