Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC的中點，PO⊥平面ABCD，M為PD的中點．
（Ⅰ）證明：PB∥平面ACM；  
（Ⅱ）求證：BC⊥PA．

Answer 1

分析 （I）連結(jié)OM，則由中位線定理得OM∥PB，故PB∥平面ACM；
（II）由BC⊥AC，BC⊥PO可得BC⊥平面PAC，于是BC⊥PA．

解答 證明：（I）連結(jié)OM，BD，
∵底面ABCD為平行四邊形，
∴O是BD的中點，又M是PD的中點，
∴OM∥PB，又OM?平面ACM，PB?平面ACM，
∴PB∥平面ACM．
（II）AD=AC=1，∠ADC=45°，
∴AC⊥AD，即BC⊥AC．
∵PO⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PO⊥BC，
又PO∩AC=O，PO?PAC，AC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，又PA?平面PAC，
∴BC⊥PA．

點評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，屬于基礎(chǔ)題．