Question

1．已知f（x）=sin（ωx+φ） （ω∈R，|φ|＜$\frac{π}{2}$），滿足f（x+π）=f（x），f（0）=$\frac{1}{2}$，f′（0）＜0，則g（x）=2cos（ωx+φ）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值與最小值之和為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$-2
• B． 2-$\sqrt{3}$
• C． 0
• D． -1

Answer 1

分析 由f（x+π）=f（x），求得ω=±2．根據(jù)f（0）=$\frac{1}{2}$，求得φ=$\frac{π}{6}$，可得f（x）=sin（±2x+$\frac{π}{6}$）．再根據(jù)f′（0）＜0，求得ω=-2，可得 g（x）=2cos（2x-$\frac{π}{6}$），再利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值與最小值，可得最大值與最小值之和．

解答 解：f（x）=sin（ωx+φ） （ω∈R，|φ|＜$\frac{π}{2}$），滿足f（x+π）=f（x），故函數(shù)f（x）的周期為|$\frac{2π}{ω}$|=π，∴ω=±2．
∵f（0）=sinφ=$\frac{1}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=sin（±2x+$\frac{π}{6}$），
若f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），則f′（0）=cos$\frac{π}{6}$•2=$\sqrt{3}$＞0，不滿足條件；
若f（x）=sin（-2x+$\frac{π}{6}$），則f′（0）=cos$\frac{π}{6}$•（-2）=-$\sqrt{3}$＜0，滿足條件，即ω=-2，
∴g（x）=2cos（-2x+$\frac{π}{6}$），即 g（x）=2cos（2x-$\frac{π}{6}$）．
在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，2cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]，g（x）的最大值與最小值之和為-$\sqrt{3}$+2
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的周期性、三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．