Question

知雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），A₁、A₂是實(shí)軸頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B（0，b）是虛軸端點(diǎn)，若在線(xiàn)段BF上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)P_i=（1，2），使得△P_iA₁A₂（i=1，2）構(gòu)成以A₁A₂為斜邊的直角三角形，則雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍是（　�。�

• A、（

  2

  ，

  6 +1

  2

  ）
• B、（

  2

  ，

  5 +1

  2

  ）
• C、（1，

  6 +1

  2

  ）
• D、（

  5 +1

  2

  ，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出直線(xiàn)BF的方程為bx+cy-bc=0，利用直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，結(jié)合a＜b，即可求出雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍．

解答： 解：由題意，F(xiàn)（c，0），B（0，b），則直線(xiàn)BF的方程為bx+cy-bc=0，
∵在線(xiàn)段BF上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)P_i（i=1，2），使得△P_iA₁A₂（i=1，2）構(gòu)成以線(xiàn)段A₁A₂為斜邊的直角三角形，
∴

bc

b2+c2

＜a，
∴e⁴-3e²+1＜0，
∵e＞1，
∴e＜

5 +1

2

∵a＜b，
∴a²＜c²-a²，
∴e＞

2

，
∴

2

＜e＜

5 +1

2

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查離心率，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．