Question

19．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{4}$，cos²$\frac{x}{4}$），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及其單調遞增區(qū)間；
（2）將f（x）的圖象向右平移$\frac{2π}{3}$個單位長度得到g（x）的圖象，若g（x）-k≤0在區(qū)間[0，$\frac{7π}{3}$]上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積運算、二倍角公式，兩角和的正弦公式化簡解析式，由正弦函數(shù)的增區(qū)間求出f（x）單調遞增區(qū)間；
（2）由三角函數(shù)圖象的平移法則求出g（x），由由x的范圍和正弦函數(shù)的性質求出g（x）的值域，由條件和恒成立問題轉化為求最值，從而求出實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=$sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{x}{2}+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$得，
$4kπ-\frac{4π}{3}≤x≤4kπ+\frac{2π}{3}（k∈Z）$，
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是$[4kπ-\frac{4π}{3}，4kπ+\frac{2π}{3}]（k∈Z）$；
（2）將f（x）的圖象向右平移$\frac{2π}{3}$個單位長度得到g（x）=$sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$的圖象，
當$x∈[0，\frac{7π}{3}]$時，$-\frac{π}{6}≤\frac{x}{2}-\frac{π}{6}≤π$，∴$-\frac{1}{2}≤sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）≤1$，
∴$0≤sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}≤\frac{3}{2}$，
∵g（x）-k≤0在區(qū)間[0，$\frac{7π}{3}$]上恒成立，
∴k≥g（x）_max=$\frac{3}{2}$，
∴實數(shù)k的取值范圍是[$\frac{3}{2}$，+∞）．

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質，向量的數(shù)量積運算、二倍角公式，兩角和的正弦公式等，以及恒成立問題的轉化，考查轉化思想，數(shù)形結合思想，化簡、變形能力．