Question

12．已知函數(shù)f（x²-1）=log_m$\frac{{x}^{2}}{2-{x}^{2}}$（0＜m＜1）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及定義域；
（2）判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性，并用定義域加以證明；
（3）若g（x）=f（2^x）在（-∞，-1]最小值為-2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由真數(shù)大于零列出不等式求出x的范圍，設(shè)t=x²-1求出-1＜t＜1、x²=t+1，代入原函數(shù)化簡(jiǎn)后，求出函數(shù)f（x）的解析式及定義域；
（2）先判斷出f（x）的單調(diào)性，設(shè)u（x）=$\frac{1+x}{1-x}$，利用分離常數(shù)法化簡(jiǎn)，由取值、作差、變形、判號(hào)，下結(jié)論，判斷出u（x₁）與u（x₂）的大小關(guān)系，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明結(jié)論成立；
（3）設(shè)t=2^x，由x∈（-∞，-1]求出t的范圍，由題意和（2）的結(jié)論列出方程，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出m的值．

解答 解：（1）由$\frac{{x}^{2}}{2-{x}^{2}}＞0$得$\left\{\begin{array}{l}{x≠0}\\{2-{x}^{2}＞0}\end{array}\right.$，
解得$-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}$且x≠0，
設(shè)t=x²-1，則-1＜t＜1，且x²=t+1，
代入原函數(shù)得，f（t）=${log}_{m}^{（\frac{1+t}{1-t}）}$，
∴f（x）=$lo{g}_{m}\frac{1+x}{1-x}$，且函數(shù)的定義域是（-1，1）；
（2）函數(shù)f（x）=$lo{g}_{m}\frac{1+x}{1-x}$在（-1，1）上是減函數(shù)，
設(shè)u（x）=$\frac{1+x}{1-x}$=$\frac{-（1-x）+2}{1-x}$=$-1+\frac{2}{1-x}$，
任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，
則u（x₁）-u（x₂）=$-1+\frac{2}{1-{x}_{1}}$-（$-1+\frac{2}{1-{x}_{2}}$）
=$\frac{2}{1-{x}_{1}}-\frac{2}{1-{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$，
∵x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，∴1-x₁＞1-x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴u（x₁）-u（x₂）＜0，則u（x₁）＜u（x₂），
∵0＜m＜1，∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）=$lo{g}_{m}\frac{1+x}{1-x}$在（-1，1）上是減函數(shù)；
（3）設(shè)t=2^x，由x∈（-∞，-1]得t∈（0，$\frac{1}{2}$]，
由（2）知函數(shù)f（x）=$lo{g}_{m}\frac{1+x}{1-x}$在（-1，1）上是減函數(shù)，
∵g（x）=f（2^x）在（-∞，-1]最小值為-2，
∴${log}_{m}^{（\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}）}$=-2，則m^-2=3，解得m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴m的值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、性質(zhì)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，以及定義法證明函數(shù)單調(diào)性，考查換元法、分離常數(shù)法的靈活應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)、變形能力．