20.已知指數(shù)函數(shù)y=g(x)滿足:g(3)=8,定義域為R的函數(shù)f(x)=ngxm+2gx是奇函數(shù).
(Ⅰ)確定y=g(x),y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)若h(x)=f(x)+a在(-1,1)上有零點,求a的取值范圍;
(Ⅲ)若對任意的t∈(-1,4),不等式f(2t-3)+f(t2-k)<0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

分析 (Ⅰ)設g(x)=ax(a>0且a≠1),根據(jù)g(3)=8求得a的值,根據(jù)f(0)=0求得n的值,根據(jù)f(-1)=-f(1),求得m的值,可得y=g(x),y=f(x)的解析式.
(Ⅱ)若h(x)=f(x)+a在(-1,1)上有零點,則h(-1)h(1)<0,由此求得a的取值范圍.
(Ⅲ)由題意利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可得,對一切t∈(1,4),有t2+2t-3>k恒成立,求得t2+2t-3的最小值,可得k的范圍.

解答 解:(Ⅰ)設g(x)=ax(a>0且a≠1),∵g(3)=8,∴a3=8,解得a=2,∴g(x)=2x
fx=n2xm+2x+1,
∵函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),∴f(0)=0,∴n12+m=0=0,∴n=1,∴fx=12xm+2x+1
又f(-1)=-f(1),∴112m+1=124+m,解得m=2,∴fx=12x2+2x+1
(Ⅱ)由(Ⅰ)知fx=12x2+2x+1=12+12x+1,又h(x)=f(x)+a在(-1,1)上有零點,
從而h(-1)h(1)<0,即12+112+1+a12+12+1+a0
∴(a+16)(a-16)<0,∴-16<a<16,∴a的取值范圍為(-16,16).
(Ⅲ)由(Ⅰ)知fx=12x2+2x+1=12+12x+1,易知f(x)在R上為減函數(shù),
又f(x)是奇函數(shù),∴f(2t-3)+f(t-k)<0,∴f(2t-3)<-f(t-k)=f(k-t),
∵f(x)在R上為減函數(shù),由上式得2t-3>k-t2,
即對一切t∈(1,4),有t2+2t-3>k恒成立,
令m(t)=t2+2t-3,t∈(1,4),易知m(t)>-4,
∴k≤-4,即實數(shù)k的取值范圍是(-∞,-4].

點評 本題主要考查指數(shù)函數(shù)的定義,用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,函數(shù)零點的判定定理,函數(shù)的恒成立問題,屬于中檔題.

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