Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=3a_n+1
（1）證明{a_n+$\frac{1}{2}$}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式
（2）若b_n=（2n-1）（2a_n+1），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），${a}_{1}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，從而能證明{a_n+$\frac{1}{2}$}是首項為$\frac{3}{2}$，公比為3的等比數(shù)列．并能求出{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=（2n-1）（2a_n+1）=（2n-1）•3ⁿ．利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項．

解答 證明：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=3a_n+1，
∴a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），
又${a}_{1}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴{a_n+$\frac{1}{2}$}是首項為$\frac{3}{2}$，公比為3的等比數(shù)列．
∴${a}_{n}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}×{3}^{n-1}$=$\frac{{3}^{n}}{2}$，
∴{a_n}的通項公式${a}_{n}=\frac{{3}^{n}}{2}-\frac{1}{2}$．
（2）b_n=（2n-1）（2a_n+1）=（2n-1）•3ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和：
S_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ，①
3S_n=1•3²+3•3³+5•3⁴+…+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-2S_n=3+2（3²+3³+3⁴+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+2×$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=-6-（2n-2）•3ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．

點評 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式及前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．