Question

15．設(shè)直線l與拋物線x²=2y交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$交于C，D兩點(diǎn)，直線OA，OB，OC，OD（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為k₁，k₂，k₃，k₄．若OA⊥OB．
（Ⅰ）是否存在實(shí)數(shù)t，滿足k₁+k₂=t（k₃+k₄），并說明理由；
（Ⅱ）求△OCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程，利用OA⊥OB，求出b，直線與拋物橢圓分別聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）求出|CD|，O到直線CD的距離，可得△OCD面積，換元，利用基本不等式求△OCD面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
直線代入拋物線的方程，得x²-2kx-2b=0，
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=2b，△=4k²+8b＞0
由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，所以b=2；
聯(lián)立直線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$方程得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
∴x₃+x₄=-$\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$，△′＞0得${k}^{2}＞\frac{1}{4}$．
∴k₁+k₂=k，k₃+k₄=-6k，
∵k₁+k₂=t（k₃+k₄），
∴t=-$\frac{1}{6}$；
（Ⅱ）|CD|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₃-x₄|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-1}}{3+4{k}^{2}}$
∵O到直線CD的距離d-$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$|CD|d=4$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-1}}{3+4{k}^{2}}$，
設(shè)$\sqrt{4{k}^{2}-1}$=t＞0，則S_△OCD=$\frac{4\sqrt{3}t}{{t}^{2}+4}$≤$\sqrt{3}$，
t=2，即k=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$時(shí)，△OCD面積的最大值為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．