Question

20．已知拋物線方程為x²=2py（p＞0），其焦點為F，點O為坐標原點，過焦點F作斜率為k（k≠0）的直線與拋物線交于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線的兩條切線，設兩條切線交于點M．
（1）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$；
（2）設直線MF與拋物線交于C，D兩點，且四邊形ACBD的面積為$\frac{32}{3}{p^2}$，求直線AB的斜率k．

Answer 1

分析 （1）設出直線AB的方程，代入拋物線的方程，運用韋達定理和點滿足直線方程，由向量的數(shù)量積的坐標表示，化簡即可得到所求值；
（2）求得切線的斜率和切線的方程，運用弦長公式，可得|AB|，|CD|，求得四邊形ABCD的面積，運用對勾函數(shù)的性質，解方程可得k的值．

解答 解：（1）設直線AB方程為$y=kx+\frac{p}{2}，A（{x_1}，{y_1}），B（{x_2}，{y_2}）$，
聯(lián)立直線AB與拋物線方程
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{p}{2}}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，得x²-2pkx-p²=0，
則x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，
可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂=x₁x₂+（kx₁+$\frac{p}{2}$）（kx₂+$\frac{p}{2}$）
=（1+k²）x₁x₂+$\frac{{p}^{2}}{4}$+$\frac{pk}{2}$（x₁+x₂）
=（1+k²）（-p²）+$\frac{{p}^{2}}{4}$+$\frac{pk}{2}$•2pk=-$\frac{3}{4}$p²；
（2）由x²=2py，知$y'=\frac{x}{p}$，
可得曲線在A，B兩點處的切線的斜率分別為$\frac{x_1}{p}，\frac{x_2}{p}$，
即有AM的方程為$y-{y_1}=\frac{x_1}{p}（x-{x_1}）$，BM的方程為$y-{y_2}=\frac{x_2}{p}（x-{x_2}）$，
解得交點$M（pk，-\frac{p}{2}）$，
則${k_{MF}}=-\frac{1}{k}$，知直線MF與AB相互垂直．
由弦長公式知，|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{4{p}^{2}{k}^{2}+4{p}^{2}}$=2p（1+k²），
用$-\frac{1}{k}$代k得，$\left|{CD}\right|=2p（\frac{1}{k^2}+1）$，
四邊形ACBD的面積$S=2{p^2}（2+{k^2}+\frac{1}{k^2}）=\frac{32}{3}{p^2}$，
依題意，得${k^2}+\frac{1}{k^2}$的最小值為$\frac{10}{3}$，
根據(jù)$f（x）=x+\frac{1}{x}\;（x＞0）$的圖象和性質得，k²=3或${k^2}=\frac{1}{3}$，
即$k=±\sqrt{3}$或$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，主要是相切的條件，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．