設點M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心,已知A(0,1),B(0,-1),且
MN
AB

(1)求動點C的軌跡E;
(2)(理科)若直線y=kx+b與曲線E交于不同的兩點P、Q,且滿足
OP
OQ
=0,求實數(shù)b的取值范圍.
(文科)若直線y=x+b與曲線E交于不同的兩點P、Q,且滿足
OP
OQ
=0,求實數(shù)b的取值.
考點:平面向量數(shù)量積的運算
專題:計算題,平面向量及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)設點C(x,y ),運用重心坐標公式可得點M,由
MN
AB
,可得 MN∥AB,故N的橫坐標等于
x
3
,又N在AB的中垂線上,故縱坐標等于0.由于NA=NC,可得方程,化簡可得軌跡方程,從而得到軌跡.
(2)(理科)把直線y=kx+b代入軌跡E的方程化簡,再由韋達定理,結合向量數(shù)量積為0,化簡整理,即可得到b的取值范圍;
(文科)把直線y=x+b代入軌跡E的方程化簡,再由韋達定理和判別式大于0,結合向量數(shù)量積為0,化簡整理,即可得到b的取值.
解答: 解:(1)設點C(x,y ),則點M(
0+0+x
3
,
1-1+y
3
 ),
即點M(
x
3
y
3
 ),
MN
=λ
AB
,可得 MN∥AB,故N的橫坐標等于
x
3
,
又N在AB的中垂線上,故縱坐標等于0.
由于N是不等邊△ABC的外心,∴NA=NC,
(
x
3
)2+1
=
(
x
3
-x)2+y2

化簡可得,
x2
3
+y2=1,xy≠0,
故動點C的軌跡E是焦點在x軸上的標準位置的一個橢圓,去掉其頂點.
(2)(理科)將直線y=kx+b代入方程
x2
3
+y2=1(xy≠0),化簡可得,
(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0,由題意可得,
b≠0,b≠±1且△=(6kb)2-4(1+3k2)(3b2-3)>0,
化簡得,b≠0,b≠±1且b2-1<3k2,
設P(x1,y1),Q(x2,y2),
OP
OQ
=0,可得,
x1•x2+(kx1+b)•(kx2+b)=(1+k2)x1•x2+kb(x1+x2)+b2=0.
x1+x2=-
6kb
1+3k2
,x1x2=
3b2-3
1+3k2
,
即有(1+k2)•
3b2-3
1+3k2
+kb•(-
6kb
1+3k2
)+b2=0
解得,3k2=4b2-3,
則b≠0,b≠±1,4b2-3≥0,4b2-3>b2-1,
解得,b≤-
3
2
或b≥
3
2
且b≠±1.
(文科)把直線y=x+b代入軌跡E的方程化簡可得  4x2+6bx+3b2-3=0.
由題意可得,b≠0,b≠±1,
且△=36b2-16( 3b2-3)>0,解得,b≠0,b≠±1且b2<4,
x1+x2=-
3b
2
,x1•x2=
3b2-3
4

OP
OQ
=0,可得,
x1•x2+(x1+b)•(x2+b)=2x1•x2+b(x1+x2)+b2=0.
∴2•
3b2-3
4
+b•(
-3b
2
)+b2=0,解得 b2=
3
2
,
∴b=±
6
2
點評:本題考查點的軌跡方程的求法,直線和圓錐曲線的位置關系,判斷軌跡E的形狀,是解題的易錯點.
練習冊系列答案
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π
6
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π
2
,0]上的值域.

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A、y=0.8x    y=0.5x
B、y=0.5x    y=0.8x
C、y=25×0.5+(x-25)×0.8    y=0.5x
D、y=25×0.5+0.8x    y=0.8x

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A、
π
4
B、
π
6
C、
2
π
D、
3
π

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A、M
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